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上篇文章：怎样解题之二——熟悉题目 作者：G•波利亚 深入理解题目 生：我应该从哪里开始？ 师：仍然从题目的叙述开始。当你对题目的叙述已经很清楚，并在脑海里留下深刻的印象，以至于即使你有一会儿不去看它，也不会担心把它忘掉时，就可以开始了。 生：我能做什么？ 师：将题目的主要部分分离出来。前提和结论是一个“证明题”的主要部分；未知量、已知量和条件是一个“求解题”的主要部分。仔细阅读题目的各主要部分，一个接一个地依次对它们进行考虑，将它们以不同的方式组合起来加以考虑，把每个细节同其它一些细节以及每个问题同整个题目联系起来。 生：这样做我能得到什么呢？ 师：你应该准备好并弄清楚那些以后很可能会起作用的细节。 下篇文章：怎样解题之四——寻求有用的思路 翻译: 曹亚云 版权所有。转载时必须以链接形式注明作者和原始出处及本声明。 收藏本页到:
上篇文章：怎样解题之三——深入理解题目 作者：G•波利亚 寻求有用的思路 生：我应该从哪里开始？ 师：从考虑题目的主要部分开始。由于你前面所做的工作，当题目的那些主要部分已经清楚的整理好，而且也想明白了，而且你的记忆也活跃起来时，你就可以开始了。 生：我能做什么？ 师：你要从不同的方面来考虑题目，并且寻找与你过去所获知识之间的联系。 从不同的方面来考虑题目。强调不同的部分，考察不同的细节，从不同的途径反复考察同一细节，以不同的方式组合这些细节，从不同的角度来处理它们。尝试在每一个细节中发现新的意义，在整体中发现新的解释。 寻找与你过去所获知识之间的联系。试着想想过去在类似情况下是什么帮助了你。试着在你考虑的过程中认出一些你熟悉的东西，试着在你认清的东西中发现一些有用的东西。 生：我能想到什么？ 师：一个有用的念头，也许是一个决定性的念头，它能在一瞥之间就为你指出通向最终目的的途径。 生：怎样才是一个有用的念头？ 师：它为你指示整个或部分的途径，它或多或少清晰的建议你该如何继续。念头多少是完整的。只要你有任何一个念头，就很幸运了。 生：如何处理一个不完整的念头？ 师：你应该考虑它。如果它看上去很有利，你就应该考虑得更久一些；如果它看上去是可靠的，你就应该弄清楚它能引你到多远，并重新考虑整个情况。由于这个有用的念头，整个情况已经发生了变化。从不同的方面来重新考虑新的情况，并寻找与你过去所获知识之间的联系。 生：再次这样做，我又能得到什么呢？ 师：你也许会很幸运，产生另外一个念头。也许你的另外一个念头会引导你马上获得解答。也可能在这个念头以后，你还需要更多有用的念头。有些念头也有可能会把你引入歧途。不管怎么说，你还是应该感谢所有这些新念头，不管是次要的、模糊的，还是对模糊的念头增加一些精确性或尝试纠正的补充念头。甚至如果你一时之间还想不出明显有些新意的念头，只要你对题目的概念有一个更完整、更有条理、更和谐或更平衡的看法，你就应该对此表示感谢了。 下篇文章：怎样解题之五——执行方案 翻译: 曹亚云 版权所有。转载时必须以链接形式注明作者和原始出处及本声明。 收藏本页到:
上篇文章：怎样解题之四——寻求有用的思路 作者：G•波利亚 执行方案 生：我应该从哪里开始？ 师：从引导你获得解答的那个幸运的念头开始。当你已肯定地掌握了主要联系，并自信你能补充一些可能需要的次要细节时，你就可以开始了。 生：我能做什么？ 师：使你掌握的东西十分牢固。尽可能详细进行你想起的以前可行的所有袋鼠或几何运算。以形式推理或直观的洞察，或者可能的话，同时采用这两种方式来确定每一步的正确性。如果你的题目十分复杂，你可以区分出“大”的步骤和“小”的步骤，而每一个大的步骤中又包含好几个小步骤，先检查大步骤，再依次深入到一些小的步骤中去。 生：这样做我能得到什么呢？ 师：一个对解答的展开，其中每一步无疑都是正确的。 下篇文章：怎样解题之六——回顾 翻译: 曹亚云 版权所有。转载时必须以链接形式注明作者和原始出处及本声明。 收藏本页到:
上篇文章：怎样解题之五——执行方案 作者：G•波利亚 回顾 生：我应该从哪里开始？ 师：从你的解答开始，它的每一个细节都应该是完整而正确的。 生：我能做什么？ 师：从不同的方面考虑你的解答，并寻找与你过去所获知识之间的联系。 考虑解答的各个细节，并尽可能使它们显得简单；考察解答中那些比较冗长的部分并尽可能使它们简短些；试着一眼就能看出整个解答。对你的解答中或大或小的各部分进行改进，尝试改进你的整个解答，使它直观，并且尽可能自然地把它纳入你过去所获的知识之中。仔细检查引导你获得解答的方法，注意找出它的要点，并在其他题目中尝试应用它。仔细检查你的结论，并尝试应用于别的题目。 生：这样做我能得到什么呢？ 师：你也许能找到一个更好的新解答，找出新的有趣的事实。无论如何，如果你养成了以这种方式回顾和仔细检查你的解答的习惯，你将会获得一些条理分明、随时可以使用的知识，并且将会提高你的解题能力。 相关文章：怎样解题之一——总论 翻译: 曹亚云 版权所有。转载时必须以链接形式注明作者和原始出处及本声明。 收藏本页到:
作者：G•波利亚 第一，理解题目 你必须理解题目。 未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？ 画一张图，引入适当的符号。 将条件的不同部分分开。你能把它们写出来吗？ 第二，拟订方案 找出已知数据与未知量之间的联系。 如果找不到直接的联系，你也许不得不去考虑辅助题目。 最终你应该得到一个解题方案。 你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？ 你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？ 观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。 这里有一道题目和最终你应该得到一个解题方案。你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？ 你能重新叙述这道题目吗？你还能以不同的方式叙述它吗？ 回到定义上去。 如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目。你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化？你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗？你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗？你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？ 第三，执行方案。 执行你的解题方案，检查每一个步骤。你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能否证明它是正确的？ 第四，回顾。检查已经得到的解答。 你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？ 你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？ 你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？ 下篇文章：怎样解题之二——熟悉题目 翻译: 曹亚云 版权所有。转载时必须以链接形式注明作者和原始出处及本声明。 收藏本页到:
